Heinrich Schnitzler wurde am 9. August 1902 in Niederösterreich als Sohn des berühmten österreichischen Dramatikers Arthur und dessen Frau Olga Schnitzler geboren. Wie seinen Vater zog es bereits den jungen Heinrich schnell auf die Bühnen Wiens, und er nahm deswegen Schauspielunterricht bei dem renommierten Lehrer Franz Herterich. 1921 feierte er am Raimundtheater sein Debüt.
An der Universität Wien studierte er Philosophie, Kunstgeschichte und Literaturgeschichte.
Seine Karriere als Schauspieler und Regisseur führte ihn weiter ins Mekka des Theaters der Zwischenkriegszeit, nach Berlin. 1923 bis 1932 inszenierte und spielte er dort, bis er 1932 wieder zurück nach Österreich kam. Nach dem sogenannten „Anschluss“ 1938 emigrierte er in die Vereinigten Staaten, wo er am Broadway inszenierte und bis 1956 Schauspielkunst, Regie und Theatergeschichte unterrichtete.
1957 kehrte er nach Österreich zurück und inszenierte am Theater in der Josefstadt. Dort war er auch ab 1959 Vizedirektor. Im Jahr 1963 erhielt er die Kainz-Medaille. Als Gastregisseur arbeitete er an zahlreichen europäischen Bühnen.
Er war außerdem Nachlassverwalter der Werke seines Vaters, weshalb er durch diese sehr zeitintensive Nebenarbeit in seinem künstlerischen Schaffen durchaus eingeschränkt war.
Am 12. Juli 1982 starb er in Wien.